Aq+Q=0 ,(1a)

式中：q为管段流量向量,q=［q₁,q₂,…,q_m］^T;Q为节点流量向量,Q=［Q₁,Q₂,…,Q_n］^T；A为降阶关联矩阵,是节点和管段之间连接关系的矩阵.
　　矩阵A按先连枝、后树枝的次序排列，有

A=［A_L|A_S］.(4)

A_L的列对应连枝为(n-1)×(m-n+1)阶矩阵,A_S的列对应树枝为(n-1)×(n-1)阶矩阵,是非奇异的,其逆存在.
　　式(2)的矩阵表达式为

Bh=0 ,(2a)

式中：h为节点水头损失向量，h=［h₁,h₂,…,h_n］^T;B为基本回路矩阵,是描述管网的基本回路和管段关联性质的矩阵.
　　将B按先连枝，后树枝的次序排列，则

　　　　B=［B_L|B_S］=［I|B_S］ ,(5)

式中：B_L对应连枝管段,为单位矩阵，阶数为(m-n+1)×(m-n+1)；B_S对应树枝管段，阶数为(m-n+1)×(n-1)；m为管段数；n为节点数.
　　如果矩阵A和矩阵B的列按相同的管段次序排列，则有^［1，2］

AB_T=0　或　BA^T=0 ,(6)

所以　　　　B_S=-(A^-1_S A_L)^T .(7)

式(4)代入式（1a）得到

A_Lq_L+A_Sq_S+Q=0 .(8)

由式(5)代入式（2a）得到

B_Lh_L+B_Sh_S=0 ,(9)

或　　　　　　　　　　　　　　　　　h_L=-B_Sh_S .

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